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■パーマンのパラドックス

ボトルネックは何処だ?!

　以前、
ハードディスクのエントロピーは増大するか?- デフラグと突然変異の共通点 - (1999.03.28)
の最後に「突然変異(あるいは、ハードディスクで言えばデフラグメント)のような現象が起きて、エントロピーが減少しない限り、熱的死(いや企業や会社であれば画一化、平凡化、そして、衰退だろうか)を迎えてしまうのだろう。」と書いた時に少し不思議な感じがした。それは、次のような矛盾を感じたのである。

まずは、

1. 何事につけても、全体としての強さは一番弱いところで決まってしまう。
2. 全体としての完成度を高くするためには、どこの強さも同じであるのが理想的である。
3. 従って、全体を構成する部分というものは均質であるのが理想的である。

　これと、先の「画一化、平凡化、そして、衰退」すなわち、「画一化は良くない」ということの間に矛盾を感じたわけである。

　しかし、少し考えてみると特に矛盾が無いことがわかる。ロボットを作る場合を考える。

1. まずは一人で機械系も電気系もソフト部分も自分で作っていた。
2. ソフト部分がどうも苦手なので、ソフトが得意な友達に手伝ってもらう。
3. すると、電気系が比較的うまく行かないようだ。
4. そこで、友達の友達に電気系を手伝ってもらう。
5. それぞれ得意な部分で力を発揮し、特に弱いところもなくなった。
6. ロボットの完成だ。

　それでは、数学的にふざけたことを考えてみる。といっても、難しく考えるのではなく、中学生でも知っていそうなあの式を使うのである。

　簡単の為にX,Y二つの部品からなるものを考える。それらの単独での精度(あるいは、出力)をx,yとすれば、全体としての精度(あるいは、出力)を考えると、それは(x* y)^(1/2)と置くのが自然だろう。それぞれ単独であれば、単なる和としては(x + y)/2であるわけである。ここで、2で割ったり1/2乗しているのは規格化しているようなものである(あとの落ちに繋げるためでもあるのだが...)。
　今やりたいことは、(x * y)^(1/2)がなるべく大きくなるようにしたいのである。というわけで、相加相乗平均の関係式の登場である。

	x->(0,50),y->(0,50)の範囲で図示したもの
(x+y)/2 ...相加
(x * y)^(1/2) ...相乗
(x * y)^(1/2)-(x + y)/2 ...相乗-相加

すなわち、x=yの時に(x * y)^(1/2)は最大になるわけである。良く知られている、相加相乗平均の関係式である。今回の話では、それぞれの精度・力が均質であれば理想的というのはこういったことである。異なる分野・方法で力を発揮しという方は簡単だ。異なる分野・方法で力を発揮するのでなければ、わざわざ乗算、すなわち、いっしょに組ませる必要がない。

　さて、タイトルの「パーマンのパラドクス」であるが、少々疲れてきたので、本題は次回にしたい。今回はタイトルについての考察を上の話に絡めてしてみるに留める。
　私は「パーマン」についてほとんど知識がない。TVアニメを観ていた記憶がある位である。だから、パーマンの名前の由来が何であるか知らない。スーパーマン+罰としての「パー」からきているのかもしれないが、ここで勝手な想像をしてみる。英語で考えてみると、par=同等、同水準、平均であるから、par-manは「平凡な主人公ががんばってスーパーマンになる」という気持ちが込められているのかもしれない。これはありそうな話である。
　ここで、「平均」でなくて同等というような意味をそこに入れたらどうなるだろうか？パーマン1,2,3,4号に対して、par=同等、同水準、平均というような視点から考えてみるのである。あるいは、パーマンだけではなく、他で考えたらどうだろうか....

■Believe It or Not?

空を飛べるんだ

　TOYSTORY2がまもなく上映される。カウボーイ人形のウッディを宇宙戦士バズらが救出に向かう話だ。カウボーイ人形のウッディはかつて、テレビ番組の人気スターだったという設定だという。

　この設定を聞くと、ある話を思い出す。結構前のことになるが、「アメリカン・ヒーロー(TheGreatest American Hero)」というTVシリーズがあった。簡単に言えば、「スーパーマンのバッタもん」である。しかし、私は大好きだったのだ。一介の高校教師ラルフがUFOからスーパースーツを与えられて、活躍？するという話だ。

　その中の一話に、かつて「かつてテレビ番組の人気役だった老俳優」とともにラルフが活躍する話があった。人気役というのはLoneRangerか何かだったと思う。あるいは、違ったかもしれないがとにかく、西部劇の正義の味方役だった。カウボーイ人形のウッディみたいなものだった。もっとも、もう記憶も定かでないので、確かではない。その中で、ラルフが老俳優に"Youare the greatest American Hero."というセリフがあって、笑えるような、ホロリとするような、好きなセリフだった。

　そういえば、宇宙戦士バズをカウボーイ人形のウッディが救ったToy Storyでは、ウッディは"Youcan Fly!"というセリフを繰り返し叫んでいた。それに、最後には"I can fly!"というセリフもあった筈だ。これもとっても良い感じだ。「アメリカン・ヒーロー」でもJoeyScarburyが歌っていた主題歌"Believe It or Not?"は同じような感じで素敵だった。

■突撃実験室

スゴイ!　メールをもらったのも本当にうれしいが、内容にはホントーに驚きだ! スーパーマンが集まってるんじゃないのか、あそこ! 　以降、私はあの会社を有限会社MISSION IMPOSSIBLEと呼ぶことにする。

■サンタが街にやってくる

複数サンタクロースの巡回問題

　幼い頃、クリスマスの夜を清里の聖ルカ教会で過ごしたことがある。今では、「アイスクリーム」で有名になってしまった聖ルカ診療所の隣の教会だ。清里を通る小海線が蒸気機関車からディーゼル列車に切り替わった頃だった。私の住んでいた野辺山から一番近い病院がその聖ルカ診療所だった。今はどうなのか判らないけれど、あの病院の中の風景はまるで高原の療養所のようで（高原の診療所なのだから大して違いはないのだけれど）、とても不思議だった。

　さて、クリスマスの人気者と言えば、やはりサンタクロースである。世界中の子供達から待ち焦がれられ、プレゼントを配って歩くのだから、クリスマスイヴのサンタは大忙しなのである。一体、サンタクロースはどんな風にプレゼントを配って歩くのだろう、と思った私は「サンタクロースの巡回問題」について考察をしてみることにした。

　知らない人のために書いておくと、「巡回サンタクロース問題（TSP:TravelingSanta Problem)」というのは「巡回セールスマン問題(TSP:Traveling SalesmanProblem)」の特殊例である。そもそも「巡回セールスマン問題」というのは「n人の顧客の場所が与えられたとき、全ての顧客を一回ずつ経由して巡回する際に、移動距離が最小になる経路を求める。」という問題である。計算幾何分野で最もメジャーな話であって、カーマーカー特許などこれに関係するものである。つまりは、色々なものを配達する際には「配達経路を考えるのは実は結構大変なのだ」という問題なのである。
 

　これまで「巡回サンタクロース問題」を考えた人がいなかったか、と言うとそんなことはなくて、試しにinfoseekで"サンタ"AND"巡回"で検索すると、既に素晴らしい研究がなされている。それが

• サンタクロース研究
• ( http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Suzuran/5872/santa.html )

　そこで、そんなこれまでの「巡回サンタクロース問題」に関する研究を踏まえながら、「できるかな?」ではさらに「サンタクロース巡回問題」を考え、そして、できることであればサンタの隠された真実にさらに迫ってみようと思う。「サンタクロース巡回問題」の中には、サンタクロースの真実に近づく鍵が含まれている、と私は何故か感じるのである。

　まず、始めに問題提起をしてみよう。

　「果たしてサンタは一人なのか？」

　どのような事件においても(別に事件ではないが)、単独犯か複数犯かというのはとても重要な問題である。犯人が単独犯か複数犯かで証拠の指し示す意味は異なってくる。サンタは一人、と私たちは何故か思い込んでいるが、そんな先入観は正しい捜査のたまには捨てる必要がある。

　そこで、まずはサンタの歴史から調べてみると、Ｓａｎｔａさんの起源、クリスマスページ!によれば、サンタクロースの起源であるSt.Nicolausは西暦4世紀頃の人であるという。その頃の人口は現在よりもはるかに少なかった。それは、サンタの労働量がはるかに少なかったということだ。なるほど、この時代であれば、サンタは一人でも不思議ではないかもしれない。

　とはいえ、Ｓａｎｔａさんの起源の中の色々なサンタの目撃情報を見ると、本当にサンタは一人なのか疑問を感じるのもまた確かである。色々なサンタが目撃されている、ということはサンタは実は複数犯の可能性が高いのではないだろうか？

　また、世界の人口は人口増加に示されている全世界の人口増加の様子を見れば明らかなように爆発的に増えている。ちなみに、そこに示されているグラフを対数軸にし、近似式を加えたものが以下である。
 

全世界の人口増加の近似グラフ

　St.Nicolausのいた西暦4世紀頃に比べて現在の人口は4桁、すなわち、10000倍に増えている(近似式によれば。ホントのところは知らない)。これでは、サンタクロースは年々仕事量が驚異的に増えていることを意味する。もし、サンタが単独犯であるとするならば、過労死はまぬがれそうにない。

　サンタの単独犯説に対する疑問は「サンタクロース巡回問題」からも示される。N人の顧客(今回の例ではN人の良い子供)が与えられたとき、サンタが計算しなければならない経路の総数は(N-1)!/2で与えられる。2で割っているのは「対称巡回サンタクロース問題(A家からB家間での距離と、B家からA家間での距離が同じという性質がある場合)」であるからだ。

　子供の家N=100までの場合の、サンタが計算しなければならない経路の総数(N-1)!/2を以下に示してみる。
 

子供の家N=100までの場合のサンタが計算しなければならない経路の総数
横軸=N、縦軸=計算しなければならない経路数

　どうだろうか、Nが少し増えると爆発的にサンタが計算しなければならない経路の総数(N-1)!/2が増えていくのがわかると思う。一軒多くなるだけで、ものスゴイ数の計算をしなければならなくなるのである。サンタが実際に配達して回るのも大変だが、その前に配達経路を決める計算量は実はもっと大変なのである。

　先の人口増加の割合をこれに加えるならば、「サンタが計算しなければならない経路の総数」は天文学的数字になることは明白である。

　そこで、私はやはりサンタ複数犯説が真実に近いと思うのである。サンタ複数犯説が正しいとするならば、ッ実はこの「サンタクロース巡回問題」は遥かに容易に解くことができるようになるのである。

　それでは、複数サンタがいるときの「サンタクロース巡回問題」を考えてみよう。サンタが複数のm人いる場合を考える≠ニA「サンタが計算しなければならない経路の総数」はm*(N/m-1)!/2で示される。
　一例として、サンタが1,2,10人の場合を示してみる。
 
 

複数サンタがいるときの
子供の家N=100までの場合のサンタが計算しなければならない経路の総数
横軸=N、縦軸=計算しなければならない経路数
黒=サンタが一人
緑=サンタが二人
紫=サンタが十人

　このグラフからサンタが複数いる場合と、単独の場合とで巡回経路を考える手間が全然違うのがわかるだろう。サンタが2人いると、計算量は半分になるのではなく、ものすごく少なくなるのである。

　実際の巡回においての仕事量は、サンタがm人いれば1/mになる。しかし、その前準備はサンタがm人いれば((N-1)!/2)/(m*(N/m-1)!/2)分の一になるのだ。簡単に言えば、メチャクチャ楽になるのだ。サンタが一人では事実上サンタがプレゼントを配ることは不可能だけれど、複数犯であれば容易にプレゼントを配ることができるのだ。

　このように「複数サンタクロース巡回問題」を考えることにより、サンタは複数いることが明らかだと私は思うのだ。

　ただこれだけでは、不十分だ。全世界の子供達も年を経るに従って、爆発的に増えている。サンタが複数いるにしても、それでもやはり大変だ。サンタ達の人数も爆発的に増えていかなければ、とてもじゃないがやってられないことだろう。

　それを解決する一つの答えはこうだ。「子供が増える割合に従って、サンタも増える」と考えるのだ。子供が一人増えると、サンタも一人増えるのだ。そうすれば、何の問題もない。子供が一人現れると、サンタも一人増えるのであれば何の問題もなくなる。

　ところで、「子供が一人現れると、サンタも一人増え、サンタの数が子供と同じ比率で増えていく」ということは、子供たちがいずれサンタになるという考えが自然だとは思えないだろうか。そうだ、子供達がサンタになるのだ。子供達が大人になって、そしてサンタになるのだ。

　もしかしたら、それはサンタという名前ではないのかもしれない。普段は他の名前で呼ばれているのかもしれない。けれど、クリスマスだけはサンタという名前になるのだ。電話ボックスで着替えるちょっと情けないスーパーマンのように、クリスマスイヴだけは彼らは変身するのだ。

　こうして、サンタ達は子供の枕元にやってくる。むかし子供だったサンタ達が子供達の枕元にやってくる。そして、夢を見ている子供達が起きてしまわないように、そっと枕もとにプレゼントを置く。

　サンタなんかこれまで私の枕元には来なかった、っていう人達も多いだろう。だけど、きっとそんな人達もまたサンタになっていくのだろう、そして本当にサンタがいるということに気づくのだろう。
 

■We can. We must. We will. 　

　Our Hero Has Always Been The Superman.

Christopher Reeve passed away October 10, 2004,with his family at his side. We are sure that you share our sadness that his life and his important work have been cut short. Christopher was a hero to many people.

Believe it or not,I'm walking on air.I never thought I could feel so free.Flying away on a wing and a prayer.Who could it be?Believe it or not it's just me.

As Christopher himself once said,"So many of our dreams at first seem impossible,then they seem improbable, and then when we summon the will,they soon become inevitable." We can. We must. We will.