hirax.net::Keywords::「オイラー」のブログ

■オッパイ星人の力学　仏の手にも煩悩編　

時速60kmの風はおっぱいと同じ感触か？

　その「性と愛研究所」を読んでいると興味深いことが書いてあった。テレビ番組の「めちゃめちゃイケてる！」の中で何でも「時速60キロの風圧はおっぱいの感触である」と言っていたらしい。そしてまた、「性と愛研究所」では「おっぱいの感触と風圧に関する考察」の中で、「時速60kmでは全然おっぱいの感触ではなくて、ちょうど時速100kmを境に急におっぱいの感触を感じます。」というメールを紹介しながら、

「時速100kmの風では、本物は触れないけどお手軽に疑似体験、名付けて『プリンに醤油でウニ』ではなくなってしまう。それでは、まるで『キャビアにフォアグラでトリュフの味』だ。青少年のために疑似おっぱいを探してあげる必要があるな。」

　この「時速60kmの風」現象は「できるかな?」的にとても興味深いと思われるので、今回じっくりと考えてみることにしてみた。そして、この結論に何らかのプラスαをしてみたいと思う。

　そう、前回「オッパイ星人の力学 第四回- バスト曲線方程式 編- (2001.01.13)」でオッパイの表面で働いている力について考えてみたのは、実は単に今回・そしてさらに次回の話のための準備だったのである。（さて、ちなみに今回は会話文体をメインに話が進む。「性と愛研究所」ではないが、この手の話は会話文体の方が書きやすいように思うし、私のバイブル「物理の散歩道」でも「困ったときの会話文体」と言われていたので挑戦してみた次第である。言うまでもないが、AもＢも私が書いてはいるが、私自身ではない。）
 

A : 「東名高速で出勤途中に確認してみたんだが、やはり時速100kmあたりが妥当な感じだったな。」

B : 「何を根拠に妥当なのかがよくわからないが、確かに時速60kmでは手に何かが触っているという感触すらないな。それにしても、哀しい出勤の景色だぞ、それ。」

B : 「はぁそうですか…、としか言いようがないな。」

B : 「そんな話は聞いたことはないが、とりあえず聞かせてもらおうか。」

B : 「ちょっと待て。何で指の周りなんだ。手のひらじゃなくて？」

B : 「こ、こうか？あぁっ？手のひらじゃなくて指で揉んでるっ！」

B : 「うむ、確かにそのようだな。」

B : 「実写の手に二次元の計算結果を三次元的に合成するという凝った処理が、実にクダラナイことに使われている例だな…」

車の窓から手を出して、指の周りの空気流を計算しよう

高速で走る車の窓から手を出して、その手の指の間を抜けていく空気の流れを計算しよう。 　鉛直方向の指の等方性を考えて、右の図に示すような指を輪切りにするような水平面のみを考える。 　こんな写真を撮るときに、自己嫌悪に陥りがちなのは何故だか知りたい今日この頃。

A : 「こういう「空気の流れ」ような流体の力学は、ニュートンのプリンキピアに始まり、オイラーとベルヌーイにより非圧縮・非粘性の理想流体の運動方程式とエネルギー保存則が導かれた。それがオイラーの運動方程式とベルヌーイの式だ。オイラーの運動方程式はちなみにこんな感じだ。」
 

オイラーの運動方程式

加速度 = 外力 + 圧力勾配力   v : 速度 s : vに沿ってとった座標 t : 時間 p : 圧力 K : 外力

A : 「基本的には「加速度 = 外力 + 圧力勾配力」という形だな。この非圧縮・非粘性の理想流体の場合はラプラシアンがゼロのポテンシャル流れと呼ばれる単純な流れになる。試しに、そんな場合をNast2Dを元にしたプログラムで計算してみた結果はこんな感じになる。ホントはこの計算自体は完全な理想流体ではないのだが、まぁ大体はこんな感じだ。」

B : 「おっ、あっという間に計算したな。」

粘性が（ほとんど）ない時の指の周りの空気の流れ

A : 「で、どうだ？」

B : 「いや、どうだ、と言われても困るが、なんかキレイだな。だけどちょっと小さくて見にくいなぁ。」

粘性が（ほとんど）ない時の指の周りの空気の流れ　（拡大図）

空気は右から左へ流れている。いや、指が右から左へ移動していると言った方が良いか？

B : 「で、この結果から何がわかるんだ？」

B : 「そう言われても、よくわからないが？」

B : 「えっ？おかしいじゃないか、それなら逆に言えば指も空気から何の抵抗を受けないってことか？」

B : 「じゃぁ、何か？この指先に感じるまぎれもないおっぱいの感触は幻だとでもいうのか!?　そんなのオレは認めないぞ！」

B : 「それウソだろ。ナヴィエとストークスが聞いたら怒るぞ。」

非圧縮流体に対するナヴィエ・ストークスの方程式

加速度 = 外力 + 圧力勾配力 + 粘性力   v : 速度 t : 時間 p : 圧力 K : 外力 μ: 粘性係数

A : 「見ればすぐわかるだろうが、この非圧縮流体に対するナヴィエ・ストークスの方程式は、最後に粘性項が入っている以外はオイラーの運動方程式と全く同じだ。」

B : 「なるほど。こうしてみると意外に簡単な式だな。」

粘性を考慮した指の周りの空気の流れ

B : 「おっ、ちょっと様子が違うな。何か、ジェットエンジンみたいに尾を引いてるぞ。」

粘性を考慮した指の周りの空気の流れ　（拡大図）

B : 「左端の空気の速度はもちろんさっきと同じだが、指の後ろでは空気が渦巻いているし、右端の空気の速度は全然違うな。」

車の窓から手を出して、指の周りの空気流を計算しよう

窓の外に手を出したときの、指の周りの空気の動きを時間を追って計算してみたもの。指の周りに空気が渦巻いていく様子がよくわかる。 　メッシュを細かく切ったおかげで、計算結果は1GB弱。なんてこったい。

B : 「指が空気の中を走り抜いていく様子がよくわかるな。確かにこれなら、空気の抵抗を受けまくりだな。」

B : 「なるほど、この計算結果は指先に感じるまぎれもないおっぱいの感触を説明しているわけだな。いい感じじゃないか。流体力学そして粘性項さまさまじゃないか！」

B : 「おやっ？ちょっと待てよ！これでは、ただ現実を説明してみただけで、何の解決にもなってないぞ！時速60kmと時速100kmの風の感触の差を説明しているわけでもないし、青少年のためのもっと安全な擬似おっぱいを提供しているわけでもない！」

B : 「なるほど、わかってきたぞ。つまりあれだな。時速60kmから時速100kmに速度を上げれば、それに応じてレイノルズ数が大きくなって、空気の渦もおおきくなるし、おっぱいの感触も確実なものになるわけだな。勉強になるな。」

B : 「そう言われても指の太さはなかなか変えられないしなぁ。」

B : 「ってことは、水の中だったら、レイノルズ数も大きいし、密度も大きいし、指先に抵抗を受けまくりってことだな。すると、水中で手を動かしてみれば、それは空気中の高速クルージングと同じってことになるな！」

B : 「時速100kmで走る車の窓から手を出すのに較べれば、風呂の中で手をひとかきすれば良いだけなんて、まさに青少年のためのもっと安全な擬似おっぱいだな！」

B : 「それはもういいっ言ってるだろ。」

B : 「確かに、そうだな。」

A : 「今調べてみると、大仏の掌の長さは256cmだ。つまり普通の人間の10倍くらいある。だったら、指の太さも10倍はあるだろう。ってことは、ほんのそよ風が吹いただけでも、大仏の手にはしっかりとしたおっぱいの感触が感じられているんじゃないのかな？」

B : 「単に手が大きいから空気の抵抗も大きいだけどいう気がしないでもないが、指の長さもでかいしさぞかし超巨乳の感触かもしれんな！そう考えると、あの大仏の手も何か実にイヤラシイ手つきに見えてくるから不思議だな！」

B : 「言いたい放題だな、全く。」

　さて、今回は「オッパイ星人の力学第四回 - バスト曲線方程式 編- (2001.01.13)」と繋がるところまで話が辿り着かなかった。おっぱいの表面張力、マボロシのような指先の流体力学、そして大仏の煩悩をめぐる大河ドラマは人生そのもののようにまだまだ続くのである。
 

■GPU上のオイラー法＋ラグランジュ法移流方程式ソルバ　

　「オイラー法とラグランジュ法を組み合わせ移流方程式を高精度に解くアルゴリズム」をGPU (グラフィックス・プロセッシング・ユニット)上で実装した、(7.9.05に) PDF資料もある.
　計算の基となる分割格子を空間に固定するか、分割格子自体(及び境界条件)を移動させていくか、というオイラー法とラグランジュ法を適当に組み合わせるという感じですね、きっと。

■「京都市鴨川源流」を廻る「理系風デート」　

　青春小説のようなシーンを交えながら、数学世界を解説していく「数学ガール （結城浩）」を読んで、少し前に読んだ万城目学の「ホルモー六景 」を連想しました。連作短編集「ホルモー六景」中の一話、京都市左京区を舞台に、一人の男子高校生が自分では気づかないうちに年上の女子大生に抱いていた淡い恋心と、デート風の（けれど決してデートではない）一日の散策を描いた「ローマ風の休日」です。

「じゃあー少しだけ、僕とデートしてくれませんか？」

　鴨川の始まりである出町柳辺りから、御池大橋までを舞台に、オイラーが解いた「ケーニヒストベルグ橋の問題」を題材にして、ローマの休日風な素敵で切ない数時間（と数ヶ月）を描いた一話です。見事なくらいに、微妙な心の機微と数学の世界が一体化した素敵で少し切ない短編です。

　午後四時になってもまだ陽の高い、京都の休日へ繰り出した。

　実際には、「ケーニヒストベルグ橋の問題」を解くという口実の（体力的に疲れそうな）デートに、付合ってくれる女性は少なそうな気がします。・・・とはいえ、この「京都市鴨川源流」を廻る「理系風デート」の一話、「ローマ風の休日」はとても楽しめる話です。

　「ローマ風の休日」は「ホルモー六景 」だけでなく、何人かの小話を集めた短編集である「きみが見つける物語 十代のための新名作 休日編 (角川文庫 あ 100-103) 」にも収録されていますから、中高校生、あるいは、モラトリアムな大学生（社会人）は一度手に取って読んでみると面白いと思います。

　ケーニヒスベルグの橋とは、プロシアの首都ケーニヒスベルグ（現在はロシア領カリーニングラード）を流れるプレーゲル河に架かる7つの橋のことである。この7つの橋を全て一度だけ渡り、元の場所に戻れるか、という議論によって有名となった。

　ケーニヒスベルグの橋の問題は1736年に、数学者オイラーにより、地図を線と点で表現し、その図形を一筆書きできるかの問題と整理されて考えられた。その結果、一筆書きできない、すなわちケーニヒスベルグの7つの橋を求められた条件の下に渡る道順は無いとして、解決された。ケーニヒスベルグの橋は、グラフ理論とトポロジーの起源であると言われている。
ケーニヒスベルグの橋

　彼女ははそれから、いろいろな数学の話を聞かせてくれた。

■ナヴィエ・ストークス方程式の誕生秘話　

　「オッパイ星人の力学　仏の手にも煩悩編::(2001.01.27)」から。

「指を通り過ぎてく空気は、指をとおる前後で運動量がそのまま変わってないってことさ。つまり、空気は指を通り過ぎる時になんら抵抗を受けてないってことだ。」
　「えっ？おかしいじゃないか、それなら逆に言うと、指も空気からは何の抵抗も受けないってことか？この指先に感じる、まぎれもないおっぱいの感触は幻だとでもいうのか!?」
　「これがダランベールのパラドックスだ。」

　「そもそも、空気をサラサラな理想流体として取り扱ったところが間違っているわけだ。そこで、登場するのがナヴィエとストークスだ。彼らはオイラーの運動方程式に粘性を導入した。全ては疑似おっぱいの感触を説明するために、だ。」

■街で見かけた「ケーニヒスベルクの橋渡り問題」　

「街を流れる川に架かる7つの橋を、一筆書き状にすべて渡り、（どこでも良いから）スタート地点に戻ってくることができるか？」というのは、オイラーが解いた「ケーニヒスベルクの橋渡りの問題」です。ケーニヒスベルクというのは、今はカリーニングラードと呼ばれるバルト海沿いにあるロシアの街です。

　この「ケーニヒスベルクの橋渡りの問題」は、私たちの住む街にも、実はたくさんあったりするものです。たとえば、今日頂いた「街で見かけたケーニヒスベルクの橋渡り問題」が下の写真です。看板に描かれた川と、その川にかかる橋群は、まさに「ケーニヒスベルクの問題」です。「鉄道専用らしき橋を渡ることができるとしたら」とか「鉄道専用橋は渡ることができないとしたら」という風に、条件を変えながら眺めてみても面白そうな、そんな「ケーニヒスベルクの看板」に見えます。

　あなたの街にも、きっと「ケーニヒスベルクの橋渡り問題」がどこかに隠れているはずです。今日頂いた「ケーニヒスベルクの問題」看板のように、あなたが見つけた、そんな風景（写真）「理系の散歩道」をお裾分けして頂けたら、心からうれしく思います。