1998-12-27[n年前へ]
■Wveletで周期解析をしてみる 
音声・地震などの1次元信号や、画像等の2次元信号処理の解析というのはなかなか面白そうだ。そこで、周期ムラに対してWaveletをかけて周波数解析をする練習をやってみたい。また、短時間フーリエ変換とWaveletの比較もしてみたい。音声・地震などのデータはまた別にやってみることにして、今回は画像データを扱うことにする。ただし、いきなり2次元も何なので、画像データの周期(つまり1次元的な振動)に注目して、解析を行ってみたい。
まずは、「周期ムラのある画像」と「周期ムラのない画像」の2種類の画像を作成する。画像はいずれも数式を用いて作成した。X方向に変化する縞模様であり、表.1のような演算式になっている。一応、2次元画像ではあるが、Y方向にはなんの変化もない。2つの数式を見比べてみると判るが、いずれも2項からなり、低周波数のSinと高周波数のSinからなっている。「周波数ムラのある画像」では、その低周波数のSinの中にさらにSinがあるので、周波数がある周期で変化していることになる。一見、「周波数ムラのない画像」の方でも低周波数のSinの内部にさらにSinがあるように見えるが、0が掛けられているので、実際には存在しないのと同じである。
| 2つのSinからなり、その一方のSinの周期がムラ(一定の周期)をもっているもの。第二項目のSinの内部にさらにSinを入れることにより、周波数ムラを作っている。 | 2つのSin波からなり、どちらの周期も正確なもの。第二項目のSinの中のSinは0をかけてあるので、何ら影響を及ぼさない。 |
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そのような数式に基づいて作成した画像を図.1に示す。なお縦軸がX軸であり、横軸がY軸である。図.2(b)では周波数ムラはないが、2つの周波数成分から作成されているため、うねりが生じている。
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まずは、Wavelet変換である。図.2がその結果である。縦軸が周波数を示している。縦軸の上方向が高周波を示し、下方向が低周波を示している。また、横軸が原画像のX方向である。白は強度が小さいことを示し、黒は強度が強いことを示している。
いずれの画像も2つの周波数成分からなることが一目瞭然である。また、図.2(a):「周波数ムラのある画像」の方では低い周波数成分の方が、さらにある周期で周波数が変化していることがわかる。
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同じWavelet変換でも異なるFilterを用いてみると、結果は異なる。例えば、図.3がその例である。こちらの方が「周波数ムラ」がどのように生じているかを見るにはいいかもしれない。
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それでは、Wavelet変換ではなくて、フーリエ変換を用いて周波数解析を行ってみる。先ほどの1次元データの全領域に対してフーリエ変換をかけてみる。その結果が図.4である。ここで、横軸が周波数を示し、右側が高周波数を示し、左側が低周波数を示している。縦軸は強度である。
このフーリエ変換の場合も、2つの画像が2つの周波数成分からなり、図.4(a):「周波数ムラのある画像」では低周波数成分がぶれているのはわかる。しかし、その周波数ブレがどのようなものであるかまでは、わからない。
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なお、単純のためにウィンドー処理はしていない。そのために悪影響は当然出てしまう。
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単なる全領域にわたった周波数解析と、位置と周波数が同時にわかる解析の違いは非常に大きい。使いこなすのはなかなか難しそうだが....
1999-01-10[n年前へ]
■宇宙人はどこにいる?
画像復元を勉強してみたい その1
知人から「自称UFO写真」というのものが冗談半分(いや100%位か)で送られてきた。その写真はボケボケの画像なので何がなんだかなんだかわからない。そこで、ぼけぼけ画像を復元する方法を勉強してみたい。UFOは冗談として、画像復元において進んでいるのは天文分野である。そこで、このようなタイトルなのである。もちろん、画像復元の問題は奥が深すぎるので、じっくりと時間をかけてみる。今回はMathematicaを使って試行錯誤を行った。
ボケ画像を復元するには、ボケ画像がどのように出来ているかを考えなければならない。そこで、ごく単純なぼけ画像を考えてみる。まずは以下の画像のような場合である。
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画像:1のような点画像が、画像:2のような分布のボケ画像になるとすると、次のような関係が成り立つ。
(式:1) 画像:4 = 画像:3 * 画像:2
画像:1のような点画像が画像:2になるなら、それを参照すれば、画像:3のような点画像の集合がどう
ボケるかは計算できる。つまり、それが画像:4になる。ここで、*はコンボリューションを表している。
よくある信号処理の話で言えば、画像:2はインパルス応答である。といっても、これはごくごく単純な場合(線形シフトインバリアントとかいろいろ条件がある)の話である。まずはそういう簡単な場合から始めてみる。
このようなごく単純な場合には
(式:2) 画像:3 = 画像:4 * (1/画像:2)
とすれば、画像:3を復元できることになる。
そこで、まずは単純な1次元データで考える。下の画像:5のようにボケる場合を考える。ここでは、ガウス分布にボケるようにしてある。
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であったが、* すなわち、コンボリューションは
逆フーリエ変換(フーリエ変換(オリジナル画像) x フーリエ変換(ボケ具合))
と表すことができる。つまり、周波数領域で掛け算をすれば良いわけである。
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それでは、試しに適当な1次元データをつくって、画像:6とコンボリューションをとってやり、ボケさせてみる。
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逆フーリエ変換(フーリエ変換(画像:9) / フーリエ変換(画像:7))
= InverseFourier[Fourier[Image8] / Fourier[Image6]]; (*Mathematica*)
とやると、次のデータが得られる。
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(式:2) 画像:3 = 画像:4 * (1/画像:2)
を見るとわかるが、画像:2が周波数領域で0になる点があったりすると、計算することができない。また、0に近いとむやみな高周波数の増幅が行われて使えない。
そこで、この方法の修正として、ウィーナフィルターなどの最小平均自乗誤差フィルターがある。これにも多くの不自然な条件のもとに計算される(らしい)。しかし、infoseek辺りで探した限りでは、ウィーナフィルターを用いた画像復元の標準であるらしい。
この方法は先の逆変換に対して、次のように変形されたものである。Mathematicaの表記をそのまま貼り付けたのでわかりにくいかもしれない。
Noise ノイズのパワースペクトル
Signal 信号のパワースペクトル
Boke ボケる様子のインパルス応答
Conjugate 複素共役
BokeData ボケ画像
ResData1 計算した復元画像
Boke1 = (Boke^2 + Noise/Signal)/Conjugate[Boke]; (*Mathematica*)
ResData1 = InverseFourier[Fourier[BokeData] / Fourier[Boke1]]; (*Mathematica*)
である。Noise/SignalはS/N比の逆数であるから、SN比の大きいところではインバースフィルターに近づく。また、インバースフィルターの計算不能な点が消えている。
これを使って復元してみたのが、次のデータである。
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まずは、ボケのフィルター(PSF=PointSpreadFunction(どのようにボケるかを示すもの)、2次元のインパルス応答)である。
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その他線形の画像復元法をいくつか調べたが、ウィーナフィルターやインバースフィルターとほとんど同じような物が(素人目には)多かった。そこで、ウィーナフィルタなどとはやり方がかなり異なるものについて、いずれ挑戦してみたい。
関係はないが、ウィナーと言えばサイバネティクスが思い浮かんでしまう。当然、ロゲルギストが連想されるわけだが、文庫本か何かで岩波版と中公版の「物理の散歩道」が安く売り出されないのだろうか？売れると思うんだけど。新書版は高すぎる。
宇宙人はどこにいるか? そういった話は専門家に聞いて欲しい。わからないとは思うが。
さて、ここからは、1999.01.24に書いている。シンクロニシティとでも言うのか、今回の一週間後の1999.01.17に
日本テレビ系『特命リサーチ200X』で
地球外生命体は存在するのか？( http://www.ntv.co.jp/FERC/research/19990117/f0220.html )
という回があった。何とこの回のコメンテーターは先の専門家と同じなのだ。偶然とは面白いものだ。
1999-02-27[n年前へ]
■画像ノイズ解析について考える
考える理由
画像ノイズ解析を目的として、2次元フーリエ変換を用いて周波数解析をすることが多い。かねがね、このやり方について疑問を感じていたので少し考えてみたい。その疑問とは次のようなことである。
- 通常の2D-FTでは、入力データ全領域での周波数解析を行う。従って、単発のパルスのようなノイズはバックグラウンドに埋もれてしまい、結果にはなかなか出てこない。
- 同じ理由で、2D-FTでは位置と周波数解析を同時に行うことができない。(もちろん、短時間フーリエ関数を使えば、そのような測定は行うことができる。)
- また、ホワイトノイズのようなフラットな周波数特性を持つノイズもバックグラウンドを押し上げるだけの効果しか持たないため、解析をしづらい。
2D-FTと2D-Waveletの例
はじめに、2D-FTと2DWaveletの例を挙げる。まずは2D-FTである。 |  |  |
このように、2D-FTの結果というのは周波数(X,Y両方向)と振幅がわかる。ここでのスクリーン角のような周期性を持つものの解析にはフーリエ解析というのは極めて有効である。店で見かけるインクジェットプリンターもヘッドの移動による周期ムラが激しいが、このようなムラに対してフーリエ変換を用いた周波数解析を行うのは正当であり、有効だろう。
それでは、同じ画像に2D-Waveletをかけてみる。2D-Waveletの結果は位置と周波数強度分布情報(ホントは違うのだが)が両方出てくる。位置情報が2次元で周波数強度分布情報が1次元であるから、合わせて3次元である。そのため、表示に一工夫いる。
第一段階として高周波成分から調べてみる。すぐにこの結果の意味がわかるだろうか？
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| 高周波のX成分 | 高周波成分 |
| 低周波成分 | 高周波のY成分 |
もう何分割かしてみる
なお、フーリエ変換では基底関数としてSinが用いられるが、Wavelet変換では基底関数としていろいろな関数を使うことができる。今回はDaubechiesの4次のものを用いている。下がその形である。
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ドットのノイズを解析してみる
それでは、今回の本題に入る。以下が原画像である。左が「2つの大きなドットからなる」画像であり、右がそれにノイズの加わった「ノイズ」画像である。ここでノイズはホワイトノイズを加えているつもりである。ドットは周期性を持つデータだが、ノイズ自体は周期性を持たない所がミソである。また、ここで言う「ノイズ」とは現実の現象とは何ら関係がない。単なる例えである。 |  |
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右のノイズの加わった画像の2DFTの結果では、広い周波数領域で強度が上がっている。しかし、下の鳥瞰図で示した(私は立体が好きなのだ)方でもわかると思うが、バックグラウンドが持ち上がっているだけである。いずれにせよ、あまり左右の間で違いはない。今回のような64x64の画像ではなく、もっと大きい画像ではその違いははより識別不能になる。
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1999-09-08[n年前へ]
■続ACIIアートの秘密
階調変換 その1
さて、今回は
の続きである。今回はASCIIアートの階調変換に関する話である。原画像からASCII文字画像に変換するときにどう変換するか、という話の第一話である。 まずは、白から黒までの256階調の基準チャートとASCII文字によるチャートを示してみよう。
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両者ともかなり縮小表示している。従って、ASCII文字チャートの方は文字がつぶれて滑らかに見えている。一見すると、ASCII文字チャートの方は白地に黒い文字を印字しているため、完全に黒いようなものは出力できない。そのため、全体的に白く見える。
これらの2つの画像のヒストグラムを示してみよう。ばらつきが多少あるが、256階調の基準チャート(上)では256階調にわたって存在している。しかし、ASCII文字チャート(下)では(ざっと見た限りでは)35階調程度しか存在していない(これは使用するフォントによって異なる)。もともと、ASCII文字は数多くあるわけではないし、平均濃度が等しい文字も存在するので、この程度になってしまうのはしょうがない。また、最も黒い領域でも、256階調の基準チャート(上)の半分程度の濃度しかない(これも使用するフォントによって異なる)。
ところどころに「使用するフォントによって異なる」という注釈を入れいるがこれが前回作成したimage2asciiの特徴である。指定のフォントを用いて画像出力を行った結果を用いてガンマテーブルを再構成するのである。逆にいえば、その指定のフォントを用いない場合には意図した画像は得られないわけである。「DeviceDepend」な技術というわけである。
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そもそも、オリジナルの画像から、この程度の階調しかないASCII文字画像へどのように変換したら良いだろうか? 先に基準チャート(上)とASCII文字チャートの例を示したが、そもそもそのASCII文字チャートはどのようにして変換するのだろうか?
まず思いつくのはオリジナル画像の濃度に一番近い濃度の出力を行う方法である。それを濃度精度重視の変換と呼ぼう。そして、もうひとつは、オリジナル画像の中での相対濃度を基準とする変換である。すなわち、オリジナルの最大濃度をASCII文字出力による最大画像に合わせ、オリジナルの最小濃度をASCII文字出力による最小画像に合わせ、あとは単に線形に変換する方法である。こちらを(まずは単純な)階調性重視の変換と呼ぼう。その変換の構造を以下に示してみる。
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濃度精度重視の変換(左)では、ある濃度以上になると全て同じ濃度で示されてしまう。階調性重視の変換(右)ではそんなことは生じない。しかし、オリジナルの画像と変換後の画像の濃度はかなり異なってしまう。これら2つのやり方によるASCII文字チャートをそれぞれ示してみる。
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濃度精度重視によるASCII文字チャートと階調性重視によるASCII文字チャート(下)のどちらが自然だろうか?濃度精度重視によるASCII文字チャートは階調の中程までは基準チャート(上)と非常に近い濃度を保っている。そのかわり、それ以降の濃度が高い部分はまったく階調性を失っている。少なくともこの基準チャート(上)のように256階調にわたり均等に濃度が存在するような画像を扱うのであれば、階調性重視によるASCII文字チャート(下)の方が自然だろう。というわけで、前回作成したimage2asciiは階調性重視による変換を用いている。
さて、今回は256階調全てにわたって滑らかな基準チャートを用いて考えてみた。しかし、実際の写真はそんなものではない。色々な濃度が均等に現れるわけではないし、そもそも狭い濃度領域しかない画像の場合もあるそういった場合には、数多くの問題が生じる。また、単に(単純な)階調性重視によるASCII文字チャート(下)が優れているわけでもなくなる。場合によって何が優れているかは異なるのだ。一般的な画像において、一体どんな問題が生じるのか、ということを次回に考えてみることにする。そして、新たに2種類の変換方法を加えてバージョンアップしたimage2asciiの登場するわけである。
今回は、その3つの変換方法の違いにより出力画像にどのような違いが生じるかを示すだけにしておく。先入観が無い状態で、優劣を判断してみると良いと思う。次の例は人物写真である。まずは、オリジナルの写真である。
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以下にimage2asciiを用いて変換したものを示す。
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これらの違いがどのようなものであるかを次回に考える。
2002-12-12[n年前へ]
■黒谷"和泉" 明美さん＠ネットサイエンス・インタビュー・メール
今朝届いてたネットサイエンス・インタビュー・メールを夜になってから眺める、と何処かで見たようなお名前。いや、見たような所ではなくて、hirax.netにアカウントがある黒谷"和泉" 明美さん＠宇宙科学研究所、である。 というわけで、そのメール中に書かれていた『絵でわかる細胞の世界』のネット上での原画展のURLを見てビックリするのだった。
」など。